Question

設a＞0，函數f(x)=

1

2

x2-4x+aln2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x=3時，函數 f（x）取得極值，證明：當θ∈[0，

π

2

]時，|f(1+2cosθ)-f(1+2sinθ)|≤4-3ln3．

Answer 1

分析：（1）根據函數求導公式求函數的導數，根據導數值的正負判斷函數的單調性．
（2）根據x=3時函數取極值得x=3是導數值為零，求出a，再根據函數的導數求出函數的極值，進而求出函數的最值，根據兩最值的差最大證明|f（1+2cosθ）-f（1+2sinθ）|≤4-3ln3

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=x-4+

a

x

=

x2-4x+a

x

=

(x-2)2+a-4

x

（2分）
（1）當a≥4時，f'（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（2）當0＜a＜4時，令f'（x）＞0，即（x-2）²+a-4＞0，
解得x＜2-

4-a

，或x＞2+

4-a

．
因此，函數f（x）在區間(0，2-

4-a

)內單調遞增，在區間(2+

4-a

，+∞)內也單調遞增．
令f'（x）＜0，即（x-2）²+a-4＜0，
解得2-

4-a

＜x＜2+

4-a

．
因此，函數f（x）在區間(2-

4-a

，2+

4-a

)內單調遞減．（7分）
（Ⅱ）當x=3時，函數f（x）取得極值，即f'（3）=0，
∴3²-4×3+a=0，∴a=3．
由（Ⅰ）f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，3）單調遞減，（3，+∞）單調遞增．
f（x）在x=1時取得極大值f(1)=3ln2-

7

2

；
f（x）在x=3時取得極小值f(3)=3ln6-

15

2

，
故在[1，3]上，f（x）的最大值是f(1)=3ln2-

7

2

，最小值是f(3)=3ln6-

15

2

；
對于任意的x₁，x₂∈[1，3]，|f（x₁）-f（x₂）|≤3ln2-

7

2

-(3ln6-

15

2

)=4-3ln3．（11分）
當θ∈[0，

π

2

]時，cosθ，sinθ∈[0，1]，1+2cosθ，1+2sinθ∈[1，3]
從而；|f（1+2cosθ）-f（1+2sinθ）|≤4-3ln3（13分）

點評：該題考查函數的求導公式，利用導數求極值和最值，屬于簡單基礎題，注意函數的定義域．