Question

設a∈[-2，0]，已知函數
（Ⅰ） 證明f（x）在區間（-1，1）內單調遞減，在區間（1，+∞）內單調遞增；
（Ⅱ） 設曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，且x₁x₂x₃≠0，證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）令，．分別求導即可得到其單調性；
（II）由（I）可知：f^′（x）在區間（-∞，0）內單調遞減，在區間內單調遞減，在區間內單調遞增．
已知曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，可知x₁，x₂，x₃互不相等，利用導數的幾何意義可得．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，根據以上等式可得，從而．設g（x）=3x²-（a+3）x+a，利用二次函數的單調性可得．
由，解得，于是可得，通過換元設t=，已知a∈[-2，0]，可得，
故，即可證明．
解答：解：（I）令，．
①，由于a∈[-2，0]，從而當-1＜x＜0時，，
所以函數f₁（x）在區間（-1，0）內單調遞減，
②=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1時，；
當x＞1時，，即函數f₂（x）在區間（0，1）內單調遞減，在區間（1，∞）上單調遞增．
綜合①②及f₁（0）=f₂（0），可知：f（x）在區間（-1，1）內單調遞減，在區間（1，+∞）內單調遞增；
（II）證明：由（I）可知：f^′（x）在區間（-∞，0）內單調遞減，在區間內單調遞減，在區間內單調遞增．
因為曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，從而x₁，x₂，x₃互不相等，且．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，由=．
可得，解得，從而．
設g（x）=3x²-（a+3）x+a，則．
由，解得，
所以，
設t=，則，
∵a∈[-2，0]，∴，
故，
故．
點評：本題主要考查了導數的運算與幾何意義，利用導數研究函數的單調性，考查了分類討論的思想、化歸思想、函數思想，考查了分析問題和解決問題的能力．