Question

已知m＞0，n＞0，向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，且

a

⊥(

a

+

b

)，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　　）

A．18

B．16

C．9

D．8

Answer 1

分析：利用向量加法的坐標(biāo)運算求出

a

+

b

，再由向量垂直得到m和n的關(guān)系為m+n=1，求

1

m

+

4

n

的最小值時，把

1

m

+

4

n

乘以1，即（m+n），展開后利用基本不等式可求最值．

解答：解：因為向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，
所以

a

+

b

=(1，1)+(m，n-3)=(m+1，n-2)，
由

a

⊥(

a

+

b

)，所以1×（m+1）+1×（n-2）=0，
即m+n=1．
又m＞0，n＞0，
所以，

1

m

+

4

n

=(

1

m

+

4

n

)(m+n)=1+4+

n

m

+

4m

n

=5+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m • 4m n

=9．
當(dāng)且僅當(dāng)“4m²=n²”時“=”成立．
所以，

1

m

+

4

n

的最小值為9．
故選C．

點評：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，考查了兩個向量的數(shù)量積，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，解答此題的關(guān)鍵是“1”的代換，此題是中檔題．