Question

已知f1(x)=

1 2 -x 2x-1

0≤x≤ 1 2 1 2 ＜x≤1

，f_n（x）=f₁（f_n-1（x））（n=2，3，4…）則f₂（x）=0的解集為

{0，

3

4

}

；f₅（x）=f₃（x）的解集為

{x|0≤x≤

15

16

或x=1}

．

Answer 1

分析：利用復合函數的意義、遞推數列即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，y=f₁（x），
已知f₂（x）=f₁（f₁（x））=0．
①當0≤x≤

1

2

時，0≤

1

2

-x≤

1

2

，f1(x)=

1

2

-x，f₁（f₁（x））=

1

2

-f1(x)=0，解得x=0．
②當

1

2

＜x≤1時，f₁（x）=2x-1，當0≤2x-1≤

1

2

時，即

1

2

≤x≤

3

4

時，f1(f1(x))=

1

2

-f1(x)=

1

2

-(2x-1)=0，解得x=

3

4

．
綜上①②可知：f₂（x）=0的解集為{0，

3

4

}．
（2）①當0≤x≤

1

2

時，f1(x)=

1

2

-x，f₂（x）=f₁（f₁（x））=

1

2

-f1(x)=x，f₃（x）=f₁（f₂（x））=f₁（x），f₄（x）=f₁（f₃（x））f₁（f₁（x））=x，
f₅（x）=f₁（f₄（x））=f₁（x），因此f₅（x）=f₃（x）恒成立，故0≤x≤

1

2

．
②當

1

2

＜x≤1時，f₁（x）=2x-1，同①可得

1

2

＜x≤

15

16

，或x=1．
綜上可知：f₅（x）=f₃（x）的解集為{x|0≤x≤

15

16

，或x=1}．
故答案分別為{0，

3

4

}，{x|0≤x≤

15

16

，或x=1}．

點評：正確理解復合函數的意義、遞推數列等是解題的關鍵．