Question

如圖，已知三棱錐的側(cè)棱、、兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)到面的距離；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）解法一是利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，具體做法是：先利用、、兩兩垂直以及它們的長(zhǎng)度計(jì)算出三棱錐的體積，然后將此三棱錐轉(zhuǎn)換成以點(diǎn)為頂點(diǎn)，以所在平面為底面的三棱錐通過(guò)體積來(lái)計(jì)算點(diǎn)到平面的距離；解法二是直接利用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離；（2）解法一是通過(guò)三垂線法求二面角的正弦值，即在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接、，證明，，從而得到為二面角的平面角，再選擇合適的三角形求出的正弦值；解法二是直接利用空間向量法求二面角的余弦值，進(jìn)而求出它的正弦值.
試題解析：解法一：（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，

由于，，且，
平面，平面，平面，
平面，，
，為的中點(diǎn)，，
，平面，平面，平面，
平面，，
，且，，
為的中點(diǎn)，，
平面，平面，，，
，
而，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法知，，
即，即，即點(diǎn)到平面的距離為；
（2）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，

，，，
平面，平面，平面，即平面，
平面，，又，，
平面，平面，平面，
平面，，
，，
，，，
同理可知，故二面角的平面角為，
，
在中，，
在中，，，，
由正弦定理得，，
即二面角的正弦值為；
解法二：（空間向量法）由于、、兩兩垂直，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

（1）由上圖知，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，
，
，
，
令，可得平面的一個(gè)法向量為，而，
，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
即點(diǎn)到平面的距離為；
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
，
，
令，可得平面的一個(gè)法向量為，
，，，
設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，
且，，
即二面角的正弦值為.