Question

（本小題滿分12分）
拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且。 
(1) 求拋物線方程；
(2) 在x軸上是否存在一點(diǎn)C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）（2）故在x軸上不存在一點(diǎn)C, 使三角形ABC是正三角形

解析試題分析：（1）設(shè)拋物線方程為
得：
設(shè)
則




拋物線方程是……………………………………………6分
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)是D，則
假設(shè)x軸上存在一點(diǎn)C(x₀, 0)
因?yàn)槿�角形是正三角形�?br />所以CD⊥AB
得：

又
矛盾，故在x軸上不存在一點(diǎn)C, 使三角形ABC是正三角形…………12分
考點(diǎn)：本試題考查了拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)：解析幾何的本質(zhì)就是運(yùn)用代數(shù)的方法，結(jié)合坐標(biāo)來分析解析幾何中的圖形的性質(zhì)。因此設(shè)而不求的思想，是解析幾何中解答題的必須步驟，同時(shí)結(jié)合韋達(dá)定理來實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)關(guān)系，屬于中檔題。