Question

已知函數f（x）=xe^-x（x∈R）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）已知函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明：當x＞1時，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明x₁+x₂＞2．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=（1-x）e^-x
令f′（x）=0，解得x=1
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表

所以f（x）在（-∞，1）內是增函數，在（1，+∞）內是減函數．
函數f（x）在x=1處取得極大值f（1）且f（1）=

1

e

．

（Ⅱ）證明：由題意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）e^x-2
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2
于是F'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
當x＞1時，2x-2＞0，從而e^2x-2-1＞0，又e^-x＞0，所以f′（x）＞0，從而函數F（x）在[1，+∞）是增函數．
又F（1）=e^-1-e^-1=0，所以x＞1時，有f（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．

（Ⅲ）證明：（1）若（x₁-1）（x₂-1）=0，由（I）及f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂=1．與x₁≠x₂矛盾．
（2）若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由（I）及f（x₁）=f（x₂），得x₁=x₂．與x₁≠x₂矛盾．
根據（1）（2）得（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨設x₁＜1，x₂＞1．
由（Ⅱ）可知，f（x₂）＞g（x₂），
則g（x₂）=f（2-x₂），
所以f（x₂）＞f（2-x₂），
從而f（x₁）＞f（2-x₂）．
因為x₂＞1，所以2-x₂＜1，
又由（Ⅰ）可知函數f（x）在區間（-∞，1）內是增函數，
所以x₁＞2-x₂，即x₁+x₂＞2．