Question

直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數），為直線與曲線的公共點. 以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（Ⅰ）求點的極坐標；
（Ⅱ）將曲線上所有點的縱坐標伸長為原來的倍（橫坐標不變）后得到曲線，過點作直線，若直線被曲線截得的線段長為，求直線的極坐標方程.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

解析試題分析：（Ⅰ）把曲線的參數方程化為的普通方程，將代入整理為關于的二次方程，解出，易得點的極坐標；（Ⅱ）通過坐標變換得出的普通方程，對直線的斜率分類討論，利用點到直線的距離公式求得，求出直線的普通方程，易得直線的極坐標方程.
試題解析：（Ⅰ）曲線的普通方程為，將代人上式整理得，解得.故點的坐標為，其極坐標為.   5分
（Ⅱ）依題知，坐標變換式為，
故的方程為：，即.
當直線的斜率不存在時，其方程為，顯然成立.
當直線的斜率存在時，設其方程為，即，
則由已知，圓心到直線的距離為，故，
解得.此時，直線的方程為.
故直線的極坐標方程為：或.        10分
考點：直線、圓、橢圓的普通方程與參數方程的轉化，直線的極坐標方程.