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已知橢圓C1：
x2
2
+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點和下頂點分別為A，B，且F是橢圓C1的右焦點．
（1）若點P是曲線C2上位于第二象限的一點，且△APF的面積為
1
2
+
2
4
，求證：AP⊥OP；
（2）點M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側的動點，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過定點．
證明：（1）設曲線C2上的點P（x0，y0），且x0＜0，y0＞0，由題意A（-
2
，0），F（1，0）
∵△APF的面積為
1
2
+
2
4
，∴
1
2
|AF|y0=
1
2
(1+
2
)y0=
1
2
+
2
4

∴y0=
2
2
，x0=-
2
2

∴
AP
•
OP
=(
2
2
，
2
2
)•(-
2
2
，
2
2
)=0
∴AP⊥OP；
（2）設直線BM的斜率為k，則直線BN的斜率為2k，又兩直線都過點B（0，-1）
∴直線BM的方程為y=kx-1，直線BN的方程為y=2kx-1
將y=kx-1代入橢圓方程，消元可得（1+2k2）x2-4kx=0，∴xM=
4k
2k2+1
，∴yM=
2k2-1
2k2+1

∴M（
4k
2k2+1
，
2k2-1
2k2+1
）
同理N（
4k
4k2+1
，
4k2-1
4k2+1
）
∴直線MN的斜率為kMN=
4k2-1
4k2+1
-
2k2-1
2k2+1
4k
4k2+1
-
4k
2k2+1
=-
1
2k

∴直線MN的方程為y-
2k2-1
2k2+1
=-
1
2k
（x-
4k
2k2+1
）
整理得y=-
1
2k
x+1
∴直線MN恒過定點（0，1）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若直線mx+ny-5=0與圓x2+y2=5沒有公共點，則過點P（m，n）的一條直線與橢圓
x2
7
+
y2
5
=1的公共點的個數是（　　）
A．0B．1C．2D．1或2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

直線l：x-y=0與橢圓
x2
2
+y2=1相交A、B兩點，點C是橢圓上的動點，則△ABC面積的最大值為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內的一點，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點，如果D恰是PB的中點．
（1）求證：無論常數a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過橢圓的上焦點．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過點（-3，2），⊙O的圓心為原點，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q，當弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在橢圓
x2
16
+
y2
9
=1內，有一內接三角形ABC，它的一邊BC與長軸重合，點A在橢圓上運動，則△ABC的重心的軌跡方程為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點，若點C(
3
2
，
3
2
)在橢圓上，且滿足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O為坐標原點）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點M，N，當
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)時，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線x-y+1=0經過橢圓S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點和一個頂點．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對任意k＞0，求證：PA⊥PB．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，點A，B關于y軸對稱．一曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知點S(0，-
3
)，T(0，
3
)，求∠SPT的最小值；
（3）若點F(1，
3
2
)是曲線E上的一點，設M，N是曲線E上不同的兩點，直線FM和FN的傾斜角互補，試判斷直線MN的斜率是否為定值，如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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同步練習冊答案