Question

北京市各級(jí)各類中小學(xué)每年都要進(jìn)行“學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試”，測(cè)試總成績(jī)滿分為X分，規(guī)定測(cè)試成績(jī)?cè)赬之間為體質(zhì)優(yōu)秀；在X之間為體質(zhì)良好；在X之間為體質(zhì)合格；在X之間為體質(zhì)不合格．
現(xiàn)從某校高三年級(jí)的X名學(xué)生中隨機(jī)抽取X名學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)，其莖葉圖如下：

（Ⅰ）試估計(jì)該校高三年級(jí)體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)以上X名學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從體質(zhì)為優(yōu)秀和良好的學(xué)生中抽取X名學(xué)生，再?gòu)倪@X名學(xué)生中選出X人．
（ⅰ）求在選出的X名學(xué)生中至少有X名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率；
（ⅱ）記X為在選出的X名學(xué)生中體質(zhì)為良好的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)抽樣的定義和條件即可估計(jì)該校高三年級(jí)體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）求出隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)抽樣，估計(jì)該校高三學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)有

10

30

×300=100人．
（Ⅱ）依題意，體質(zhì)為良好和優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為 15：10=3：2．
所以，從體質(zhì)為良好的學(xué)生中抽取的人數(shù)為

3

5

×5=3，從體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生中抽取的人數(shù)為

2

5

×5=2．
（ⅰ）設(shè)“在選出的3名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀”為事件A，
則 P(A)=1-

C 3 3

C 3 5

=

9

10

． 故在選出的3名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率為

9

10

．
（ⅱ）解：隨機(jī)變量X的所有取值為1，2，3.P(X=1)=

C 1 3 • C 2 2

C 3 5

=

3

10

，P(X=2)=

C 2 3 • C 1 2

C 3 5

=

6

10

，P(X=3)=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

． 
所以，隨機(jī)變量X的分布列為：

X	1	2	3
P	3 10	6 10	1 10

EX=1×

3

10

+2×

6

10

+3×

1

10

=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用以及隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．