Question

（2012•汕頭二模）已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（1）當a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a=4時，若函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點，求m的取值范圍；
（3）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點p（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，請你探究當a=4時，函數(shù)y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，由f^′（x）＞0能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx，f′（x）=2x+

4

x

-6，其中x＞0，由f^′（x）=0求出極值點，把函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m的交點問題解決；
（3）當a=4時，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=m（x）=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+x02-6x0+4lnx0．由此能推導出y=f（x）存在“類對稱點”，

2

是一個“類對稱點”的橫坐標．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x=

a

2

．
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
當0＜x＜1及x＞

a

2

時，f'（x）＞0；
當1＜x＜

a

2

時，f'（x）＜0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（

a

2

，+∞）．
（2）當a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx，f′（x）=2x+

4

x

-6=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，其中x＞0，
當x∈（0，1），（2，+∞）時，f^′（x）＞0．
當x∈（1，2）時，f^′（x）＜0．
∴f（x）在x∈（0，1），（2，+∞）時為增函數(shù)，
在x∈（1，2）時為減函數(shù)．
∴f（x）的極大值為f（1）=-5，極小值為f（2）=4ln2-8．
要使函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有三個不同交點，
如圖，則m的取值范圍是（4ln2-8，-5）．
（3）由（2）知，當a=4時，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為：
y=m（x）=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+x02-6x0+4lnx0，
設φ（x）=f（x）-m（x）=x2-6x+4lnx-(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)-(x02-6x0+4lnx0)，
則φ（x₀）=0．
?′（x）=2x+

4

x

-6-（2x₀+

4

x0

-6）=2（x-x₀）（1-

2

xx0

）=

2

x

（x-x₀）（x-

2

x0

）
若x₀＜

2

，φ（x）在（x₀，

2

x0

）上單調(diào)遞減，
∴當x∈（x₀，

2

x0

）時，φ（x）＜φ（x₀）=0，此時

∅(x)

x-x0

＜0；
若x0＞

2

，φ（x）在（

2

x0

，x₀）上單調(diào)遞減，
∴當x∈（

2

x0

，x₀）時，φ（x）＞φ（x₀）=0，此時

∅(x)

x-x0

＜0．
∴y=f（x）在（0，

2

）∪（

2

，+∞）上不存在“類對稱點”．
若x0=

2

，

2

x

(x-

2

)2＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當x＞x₀時，φ（x）＞φ（x₀）=0，
當x＜x₀時，φ（x）＜φ（x₀）=0，故

∅(x)

x-x0

＞0．
即此時點P是y=f（x）的“類對稱點”
綜上，y=f（x）存在“類對稱點”，

2

是一個“類對稱點”的橫坐標．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足函數(shù)在一定零點下的參數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對稱點”．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，此題是難題．