Question

已知函數，其中，記函數的定義域為D．

（1）求函數的定義域D；

（2）若函數的最小值為，求的值；

（3）若對于D內的任意實數,不等式＜恒成立,求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) 

(3) (－∞，)∪[，+∞)

【解析】

試題分析：解：（1）要使函數有意義：則有，解得

∴ 函數的定義域D為               2分

（2）

    

，，即，  5分

由，得，．       7分

（注：不化簡為扣1分）

（3）由題知－x²+2mx－m²+2m＜1在x∈上恒成立，

－2mx+m²－2m+1＞0在x∈上恒成立，    8分

令g(x)=x²－2mx+m²－2m+1，x∈，

配方得g(x)=(x－m)²－2m+1，其對稱軸為x=m，

當m≤－3時， g(x)在為增函數，

∴g(－3)= (－3－m)²－2m+1= m²+4m +10≥0，

而m²+4m +10≥0對任意實數m恒成立，∴m≤－3．       10分

②當－3＜m＜1時，函數g(x)在（－3,－1）為減函數，在（－1, 1）為增函數，

∴g(m)=－2m+1＞0，解得m＜     ∴－3＜m＜        12分

③當m≥1時，函數g(x)在為減函數，∴g(1)= (1－m)²－2m+1= m²－4m +2≥0，

解得m≥或m≤，    ∴－3＜m＜         14分

綜上可得，實數m的取值范圍是 (－∞，)∪[，+∞)    16分

考點：函數的概念和值域，二次函數的最值

點評：解決的關鍵是利用函數的概念以及分離參數的思想來借助于二次函數的最值得到參數的范圍。屬于基礎題。