Question

（2012•楊浦區二模）如圖所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁長為a，底面ABCD是邊長AB=2a，BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點．
（1）求證：DE⊥平面EBC；
（2）求異面直線AD與EB所成的角的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（1）先證明EC⊥ED，在利用BC⊥平面CC₁D₁D，證明BC⊥DE，即可證明DE⊥平面EBC；
（2）先證明∠EBC即為所求異面直線的夾角（或其補角），確定△EBC為直角三角形，從而可求異面直線AD與EB所成的角的大小．

解答：（1）證明：∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁長為a，底面ABCD是邊長AB=2a，BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點，
∴EC=ED=

2

a，CD=2a
∴EC⊥ED，…（2分）
∵BC⊥平面CC₁D₁D，DE?平面CC₁D₁D，
∴BC⊥DE，…（4分）
∵BC∩EC=C
∴DE⊥平面EBC，…（7分）
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠EBC即為所求異面直線的夾角（或其補角），…（9分）
由BC⊥平面CC₁D₁D，EC?平面CC₁D₁D，得BC⊥EC，…（11分）
即△EBC為直角三角形，
在直角△EBC中，EC=

2

a，BC=a，
∴tan∠EBC=

EC

BC

=

2

∴∠EBC=arctan

2

                        …（14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線線角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出線線角，屬于中檔題．