Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1），
（1）求f（log₂x）的最小值及相應 x的值；
（2）若f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1），求由x的值組成的集合．

Answer 1

分析：（1）由題意，先由f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1），解出a，b的值，得到f（x）的解析式，再由f（log₂x）的形式選擇配方法求得它的最小值及相應的x的值；
（2）由題意f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1），解此兩不等式即可得到x的值組成的集合．

解答：解：（1）由題意f（x）=x²-x+b
∴f（log₂a）=（log₂a）²-log₂a+b=b
解得log₂a=1，即可得a=2
又log₂f（a）=2，得f（a）=4
∴a²-a+b=4，將a=2代入，解得b=2
∴f（x）=x²-x+2
∴f（log₂x）=（log₂x）²-log₂x+2=（log₂x-

1

2

）²+

7

4

∴當log₂x=

1

2

，即x=

2

時，f（log₂x）的最小值是

7

4

答：f（log₂x）的最小值是

7

4

，相應 x的值x=

2

（2）由題意知

(log2x)2-log2x+2＞2 log2(x2-x+2)＜2

∴

log2x＜0或log2x＞1 0＜x2-x+2＜4

∴

0＜x＜1或x＞2 -1＜x＜2

∴0＜x＜1
答：由x的值組成的集合是（0，1）

點評：本題考查對數函數圖象與性質的綜合應用，考查了對數方程的解法，對數不等式的解法及與對數有關的復合函數的最值的求法，涉及到的基本技能較多，解題的關鍵是熟練掌握對數的單調性及對數的運算，將方程與不等式正確轉化求解，屬于對數函數有關的綜合性較強的題