Question

集合A是由適合以下性質的函數(shù)f(x)構成的：對于任意的x＞0,y＞0,且x≠y,都有

f(x)+2f(y)＞3f().

(1)試判斷f₁(x)=log₂x及f₂(x)=(x+1)²是否在集合A中？請說明理由.

(2)設f(x)∈A，且定義域是(0，+∞)，值域是(1,2)，f(1)＞,寫出一個滿足以上條件的f(x)的解析式，并證明你寫出的函數(shù)f(x)∈A.

Answer 1

解：(1)取x=1,y=4，則

f₁(1)+2f₁(4)=log₂1+2log₂4=log₂16,

3f₁()=3log₂=log₂27＞log₂16，

∴f₁(x)+2f₁(y)＜3f₁().

∴f₁(x) A.

    任取x＞0,y＞0且x≠y,研究

f₂(x)+2f₂(y)-3f₂()=(x+1)²+2(y+1)²-

3(+1)²=(x-y)²＞0.

∴f₂(x)+2f₂(y)＞3f₂().

∴f₂(x)∈A.

(2)設函數(shù)f(x)=()^x+1,x∈(0,+∞),滿足其值域為(1,2)且f(1)=+1=＞.

    又任取x＞0,y＞0且x≠y,則

f(x)+2f(y)=()^x+1+2()^y+2

=()^x+2()^y+3

=()^x+()^y+()^y+3＞

=3［+1］

=3f().

∴f(x)∈A.