Question

P是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的點，F₁、F₂ 是兩個焦點，則|PF₁|•|PF₂|的最大值與最小值之差是

5

．

Answer 1

分析：由題意，設|PF₁|=x，故有|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，其中3-

5

≤x≤3+

5

．根據 函數y=-x²+6x在（3-

5

，3）上單調遞增，(3，3+

5

)上單調遞減，可求y=-x²+6x的最小值與最大值，從而可求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差．

解答：解：由題意，設|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-x
∴|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9
∵橢圓c=

5

，a=3
∴3-

5

≤x≤3+

5

∵函數y=-x²+6x在（3-

5

，3）上單調遞增，(3，3+

5

)上單調遞減
∴x=3-

5

時，y=-x²+6x取最小值(3-

5

)(3+

5

)=4，
x=3時，y=-x²+6x取最大值為9
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差為9-4=5
故答案為：5

點評：本題以橢圓的標準方程為載體，考查橢圓定義的運用，考查函數的構建，考查函數的單調性，屬于基礎題．