Question

用長為18 m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為2∶1,問該長方體的長、寬、高各為多少時,其體積最大?最大體積是多少?

Answer 1

解:設長方體的寬為x m,則長為2x m,高為h==(4.5-3x)(m)(0＜x＜).

故長方體的體積為V(x)=2x²(4.5-3x)=9x²-6x³(m³)(0＜x＜).從而V′(x)=18x-18x²=18x(1-x).

令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.當0＜x＜1時,V′(x)＞0;

當1＜x＜時,V′(x)＜0.故在x=1處V(x)取得極大值,并且這個極大值就是V(x)的最大值.

從而最大體積V=V(1)=9×1²-6×1³=3(m³),此時長方體的長為2 m,高為1.5 m.

答:當長方體的長為2 m,寬為1 m,高為1.5 m時,體積最大,最大體積為3 m³.