Question

已知函數（為常數），函數定義為：對每一個給定的實數，
（1）求證：當滿足條件時，對于,；
（2）設是兩個實數，滿足，且，若，求函數在區間上的單調遞增區間的長度之和.（閉區間的長度定義為）

Answer 1

（1）詳見解析（2）

試題分析：（1）由分析可知的解析式就是取中較小的一個。所以等價于，將此不等式轉化成指數函數不等式，根據指數的運算法則，應將除過去用公式，再將不等式左邊的2也化為以3為底的對數，依據的公式是。再根據指數函數的單調性解同底的對數不等式。最后根據絕對值不等式的性質放縮不等式，即可求解。（2）根據（1）中所證已知時，，圖形關于對稱，且在兩側單調性相反。若則為的中點。即可求得函數在區間上的單調遞增區間的長度。當時，當時，當時，當時解圖象交點的橫坐標，根據圖像得的解析式。再根據圖像得增區間，再求增區間的長度。
試題解析：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于（對所有實數）這又等價于，即對所有實數均成立. （*） 由于的最大值為， 故（*）等價于，即，所以當時，
（2）分兩種情形討論
（i）當時，由（1）知（對所有實數）
則由及易知，
再由的單調性可知，
函數在區間上的單調增區間的長度
為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設，則，于是
當時，有，從而；
當時，有
從而  ；
當時，，及，由方程
解得圖象交點的橫坐標為
              ⑴
顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區間上，  （參見示意圖2）
故由函數及的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由于，即，得
         ⑵
故由⑴、⑵得
綜合（i）（ii）可知，在區間上的單調增區間的長度和為。