Question

已知{a_n}為等比數列，a₁=1，a₄=27．S_n為等差數列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根據{a_n}為等比數列，a₁=1，a₄=27，確定數列的公比q=3，利用S_n為等差數列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35，可得數列的公差，從而可求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法可求數列的和．

解答：解：（1）設等比數列的公比為q
∵{a_n}為等比數列，a₁=1，a₄=27，∴公比q=3，∴an=3n-1，（3分）
設等差數列{b_n}的公差為d，
∵S_n為等差數列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35，∴15+10d=35，∴d=2
∴b_n=2n+1．                                                      （6分）
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=3×1+5×3+…+（2n-1）×3^n-2+（2n+1）×3^n-1①
3Tn=3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n②
①-②得：-2Tn=3+2×(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n（9分）
∴Tn=n•3n（12分）

點評：本題考查數列的通項，考查數列的求和，確定數列中的基本量，利用錯位相減法求數列的和是關鍵．