Question

（2013•南京二模）設f（x）=（1+x）（1+2x）…（1+nx）（其中，n∈N^*且n≥2），其展開后含x^r項的系數記作a_r（r=0，1，2，…，n）．
（1）求a₁（用含n的式子表示）；
（2）求證：a2=

3n+2

4

C

3 n+1

．

Answer 1

分析：（1）從函數的解析式的n個括號中，選一個x，余下的選常數，即可得到a₁（用含n的式子表示）；
（2）從函數的解析式的n個括號中，選兩個x項，余下的選常數，即可得到a₂，然后證明：a2=

3n+2

4

C

3 n+1

．

解答：解：（1）由題意從函數的解析式的n個括號中，選一個x，余下的選常數，
∴a₁=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
（2）由題意從函數的解析式的n個括號中，選兩個含有x的項，余下的選常數，即可得到a₂，
∴a₂=1×1+1×2+1×3+…+1•n+2×3+2×4+…+2•n+…+（n-1）•n
=

(1+2+…+n)2-(12+22+…+n2)

2

=

1

2

[

n(n+1)

2

]2-

n(n+1)(2n+1)

12

=

n(n+1)

4

•

(n-1)(3n+2)

6

=

3n+2

4

C

3 n+1

∴a2=

3n+2

4

C

3 n+1

．

點評：本題考查二項式定理的應用，分析法以及綜合法解決問題額方法，注意x的指數以及展開式項的關系是解題的關鍵．