Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數k＞0，使|f(x)|≤

k|x|

2013

對于一切x∈R均成立，則稱f（x）為“好運”函數．給出下列函數：
①f（x）=x²； 
②f（x）=sinx+cosx；
③f(x)=

x

x2+x+1

；     
④f（x）=3^x+1．
其中f（x）是“好運”函數的序號是（　�。�

Answer 1

分析：根據新定義，對每個函數一一驗證，即可得出結論．

解答：解：①∵f（x）=x²，∴|f(x)|≤

k|x|

2013

可化為2013|x|≤k，顯然不存在常數k，使得|f(x)|≤

k|x|

2013

對于一切x∈R均成立，即①不是“好運”函數；
②∵f（x）=sinx+cosx，∴k≥

2013|sinx+cosx|

|x|

，∵右邊沒有最大值，∴不存在常數k，使得|f(x)|≤

k|x|

2013

對于一切x∈R均成立，即②不是“好運”函數；
③∵f(x)=

x

x2+x+1

，∴k≥

2013

x2+x+1

．∵0＜

2013

x2+x+1

≤2684，∴k≥2684，使|f(x)|≤

k|x|

2013

對于一切x∈R均成立，即③是“好運”函數；
④∵f（x）=3^x+1，∴k≥

2013(3x+1)

|x|

，∵右邊沒有最小值，∴不存在常數k，使得|f(x)|≤

k|x|

2013

對于一切x∈R均成立，即④不是“好運”函數．
故選C．

點評：本題考查新定義，考查學生對新定義的理解，考查學生分析解決問題的能力，有難度．