Question

（2003•朝陽區一模）抽象函數是由特殊的、具體的函數抽象而得到的．如正比例函數f（x）=kx（k≠0），f（x₁）=kx₁，f（x₂）=kx₂，f（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）=kx₁+kx₂=f（x₁）+f（x₂）可抽象為f（x+y）=f（x）+f（y）．寫出下列抽象函數是由什么特殊函數抽象而成的（填入一個函數即可）．

特殊函數	抽象函數
f（x）=xα	f（xy）=f（x）f（y）
f（x）=ax（a＞0且a≠1）	f（x+y）=f（x）f（y）
f（x）=logax（a＞0且a≠1）	f（xy）=f（x）+f（y）
f（x）=tanx	f（x+y）= f(x)+f(y) 1-f(x)f(y)

Answer 1

分析：根據表格中給出抽象函數的性質，聯想到相應的基本初等函數，再根據它們的定義依次加以驗證，即可得到各個空格里應該填上的函數類型，從而得到答案．

解答：解：∵冪函數f（x）=x^α，滿足f（xy）=（xy）^α=x^α•y^α=f（x）f（y）
∴表格第一行應該填上f（x）=x^α，
∵指數函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1），滿足f（x+y）=a^x+y=a^x•a^y=f（x）f（y）
∴表格第二行應該填上f（x）=a^x（a＞0且a≠1），
∵對數函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），滿足f（xy）=log_axy=log_ax+log_ay=f（x）+f（y）
∴表格第三行應該填上f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
又∵正切函數f（x）=tanx，滿足f（x+y）=tan（x+y）=

tanx+tany

1-tanxtany

=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

∴表格最后一行應該填上f（x）=tanx
故答案為：f（x）=x^α，f（x）=a^x（a＞0且a≠1），f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），f（x）=tanx

點評：本題給出滿足條件的抽象函數，要我們找出符合條件的具體函數．著重考查了基本初等函數的性質和抽象函數具體具體化的方法等知識，屬于中檔題．