Question

若橢圓a²x²+y²=a²（0＜a＜1）上離頂點A（0，a）最遠點為（0，-a），則a的取值范圍是（　　）

A．0＜a＜1

B． 2 2 ≤a＜1

C． 2 2 ＜a＜1

D．0＜a＜ 2 2

Answer 1

設：P（cost，asint）是橢圓a²x²+y²=a²上任一點，
則|PA|²=cos²t+a²（1-sint）²
=1-sin²t+a²sin²t-2a²sint+a²
=（a²-1）sin²t-2a²sint+a²+1
=（a²-1）(sint-

a2

a2-1

)2-

a4

a2-1

+a²+1，
=（a²-1）(sint-

a2

a2-1

)2-

1

a2-1

．
∵0＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴

a2

a2-1

＜0，
∴當

a2

a2-1

≤-1，
即a²≥1-a²，
即

2

2

≤a＜1時，
sint=-1時取最大值，即|PA|²_max=4a²，
∴|PA|_max=2a，此時點P的坐標為P（0，-a）．
當-1＜

a2

a2-1

＜0時，sint=

a2

a2-1

時，|PA|²_max=-

1

a2-1

=

1

1-a2

，
要滿足題意，應有

1

1-a2

=4a²，
解得a²=

1

2

，不滿足-1＜

a2

a2-1

＜0，需舍去．
綜上所述，滿足題意的a的取值范圍為：[

2

2

，1）．
故選：A．