Question

已知二次函數的圖像經過坐標原點，且滿足，設函數,其中為非零常數
(I)求函數的解析式；
(II)當 時，判斷函數的單調性并且說明理由；
(III)證明：對任意的正整數,不等式恒成立

Answer 1

（Ⅰ）設，的圖象經過坐標原點，所以c=0.
∵ ∴
即：
∴a=1,b=0,；……………………………………４分
（Ⅱ）函數的定義域為
．，
令，，
，
∵，∴，在上恒成立，
即，當時,函數在定義域上單調遞減．………９分
（III）當時，，令 
則在上恒正，
∴在上單調遞增，當時，恒有.，
即當時，有，
對任意正整數，取得．………………１３分