Question

已知函數f （x）為R上的奇函數，且在（0，+∞）上為增函數，
（1）求證：函數f （x）在（-∞，0）上也是增函數；
（2）如果f （

1

2

）=1，解不等式-1＜f （2x+1）≤0．

Answer 1

分析：（1）設x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，根據函數f （x）為R上的奇函數，且在（0，+∞）上為增函數，由定義可證函數f （x）在（-∞，0）上也是增函數．
（2）由函數的單調性即可求出不等式的解集．

解答：解：（1）令x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∵函數f（x）在（0，+∞）上為增函數∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又∵函數f（x）為奇函數
∴-f（x₁）＞-f（x₂）
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數
（2）∵f（-0）=f（0）∴f（0）=0
∵f(-

1

2

)=-f（

1

2

）=-1∴f（-

1

2

）＜f（2x+1）≤f（0）
又f（x）在R上單調遞增∴-

3

4

＜x≤ -

1

2

∴不等式-1＜f （2x+1）≤0的解集為：{x|-

3

4

＜x≤-

1

2

}．

點評：本題主要考查函數的性質--函數的奇偶性和單調性．