Question

如圖，橢圓的中心為原點，長軸在軸上，離心率，又橢圓上的任一點到橢圓的兩焦點的距離之和為.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點、，過、兩點作圓心為的圓，使橢圓上的其余點均在圓外.求的面積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）根據題干條件求出、的值，進而求出的值，從而確定橢圓的標準方程；（2）設點的坐標為，并設橢圓上任意一點的坐標為，求出，根據題中條件得到點的坐標使得取得最小值，從而得出，最后再求出面積的表達式，結合二次函數或基本不等式求出的最大值.
試題解析：（1）設所求橢圓的標準方程為，
由題意得，解的，，，
所求橢圓的標準方程為；
（2）由橢圓的對稱性，可設，又設是橢圓上任意一點，則
，，
所以當時，取最小值，
又由題意得：是橢圓上任意一點到的距離最小的點，
設，因此當時，取最小值，
又因，所以，
由對稱性知，故，所以
S，
所以當時，的面積取得最大值.