Question

計算下列各題
（Ⅰ）已知函數f(x)=

ln(2x+1)

x

，求f′（2）；
（Ⅱ）求

∫	π 2 -  π 2

(xcosx-6sinx+e

x

2

)dx．
（Ⅲ）已知

.

z

為z的共軛復數，且(1+2i)

.

z

=4+3i，求

z

. z

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則對原函數求導，然后在導函數中取x=2進行計算；
（Ⅱ）利用和的積分等于積分的和拆開，然后利用奇函數在對稱區間上的定積分為0，把剩余部分求出被積函數的原函數再利用微積分基本定理求解；
（Ⅲ）把給出的等式兩邊同時除以復數1+2i，然后利用復數的除法運算進行化簡得到復數z，求出

.

z

，代入

z

. z

后再利用復數的除法運算即可求得結果．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

ln(2x+1)

x

，所以f′(x)=

2

2x2+x

-

ln(2x+1)

x2

，
則f′(2)=

2

2×22+2

-

ln(2×2+1)

22

=

1

5

-

ln5

4

．
（Ⅱ）

∫

π 2 - π 2

(xcosx-6sinx+e

x

2

)dx
=

∫

π 2 - π 2

(xcosx-6sinx)dx

+∫

π 2 - π 2

e

x

2

dx
=0+2

e x 2 |

π 2 - π 2

=2e

π

4

-2e-

π

4

．
（Ⅲ）由(1+2i)

.

z

=4+3i，
得：

.

z

=

4+3i

1+2i

=

(4+3i)(1-2i)

(1+2i)(1-2i)

=

10-5i

5

=2-i
所以z=2+i．
 則

z

. z

=

2+i

2-i

=

(2+i)2

(2-i)(2+i)

=

3+4i

5

=

3

5

+

4

5

i．

點評：本題考查了導數的運算，考查了定積分，考查了復數的除法運算，涉及基礎性的知識較多，是計算類型題目，解答此題的關鍵是題目（Ⅱ）的計算，奇函數在對稱區間上的定積分等于0用的靈活，該題是中低檔題．