Question

(07年四川卷文)（14分）已知函數，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）若，記，證明數列成等比數列，并求數列的通項公式；

（Ⅲ）若，，是數列的前項和，證明．

Answer 1

解析：本題綜合考查數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力．

（Ⅰ）由題可得．

所以曲線在點處的切線方程是：．

即．

令，得．

即．

顯然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．

從而，即．所以，數列成等比數列．

故．

即．

從而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

∴

∴

當時，顯然．

當時，

∴

．

　　　綜上，．