Question

函數y=

x2-x+n

x2+1

(n∈N+，y≠1)的最小值為a_n，最大值為b_n，且cn=4(

a

n

bn-

1

2

)，數列{C_n}的前n項和為S_n．
（1）求數列{c_n}的通項公式；
（2）若數列{d_n}是等差數列，且dn=

Sn

n+c

，求非零常數c；
（3）若f(n)=

dn

(n+36)dn+1

(n∈N+)，求數列{f（n）}的最大項．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件便可求出a_nb_n，然后代入c_n的表達式中即可求出數列{c_n}的通項公式；
（2）由（1）中c_n的通項公式先求出S_n的表達式，然后根據題意求出d_n的通項公式，再根據dn為等差數列的條件便可求出c的值；
（3）將（2）中求得的d_n 的通項公式代入求出f（n）的表達式，然后根據不等式的性質可知當n=6時，f（n）有最大值．

解答：解：（1）由y=

x2-x+n

x2+1

，(n∈N*，y≠1)，得x2(y-1)+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由題意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的兩根，

∴an• b   n =n- 1 4 ∴Cn=4n-3，(n∈N*)

（2）Sn=2n2-n，dn=

2n2-n

n+c

，
∴d1=

1

1+c

，d2=

6

2+c

，d3=

15

3+c

∵{d_n}為等差數列，
∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，
∴c=-

1

2

或c=0(舍)
經檢驗c=

1

2

時，{d_n}是等差數列，d_n=2n；
（3）f(n)=

2n

(n+36)(2n+2)

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

37+2 36

=

1

49

當且僅當n= 36 n 即n=6時取”=” ∴f(n)的最大值為 1 49 .

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的基本公式以及數列與函數的綜合運用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．