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設單調遞增等比數列{an}滿足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中項，
（1）求數列{an}的通項；
（2）數列{cn}滿足：對任意正整數n，
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn
an
=22+
2n-11
2n-1
均成立，求數列{cn}的前n項和．
分析：（1）將已知條件a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中項，用基本量表示，列出方程組，求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出數列{an}的通項．
（2）根據已知等式仿寫出新等式
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn-1
an-1
=22+
2n-13
2n-2
，兩式相減求出數列{cn}的通項，利用等差數列的前n項和公式求出數列{cn}的前n項和．
解答：解：（1）設等比數列{an}的公比為q，則
a1+a1q+a1q2=7
a1+a1q+5=2a1q2
，
兩式相減，得a1q2=4，（3分）
代入第一方程得
4
q2
+
4
q
+4=7，
解得q=2或q=-
2
3
（舍），
又a1=1，
所以an=2n-1（6分）
（2）對任意正整數n，
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn
an
=22+
2n-11
2n-1
均成立，
n=1時，c1=13（8分）
當n≥2時，
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn-1
an-1
=22+
2n-13
2n-2
，
兩式相減得
cn
an
=
2n-11
2n-1
-
2n-13
2n-2
=
15-2n
2n-1
所以n≥2時，cn=15-2n，
n=1也滿足此式 （12分）
∴Sn=
(13+15-2n)n
2
=-n2+14n（14分）
點評：解決等差數列、等比數列的有關問題，一般利用通項公式及前n項和公式列出方程組，求出基本量，然后在解決．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在單調遞增數列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差數列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數列，n=1，2，3，…．
（1）分別計算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求數列{an}的通項公式（將an用n表示）；
（3）設數列{
1
an
}的前n項和為Sn，證明：Sn＜
4n
n+2
，n∈N*．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•東城區二模）在單調遞增數列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n對任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數列{an}能否為等比數列？說明理由；
（Ⅲ）設bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求證：對任意的n∈N*，
bn-cn
an-12
≥0．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省寧波市慈溪中學高三（上）期中數學試卷（4、5班）（解析版） 題型：解答題

設單調遞增等比數列{an}滿足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中項，
（1）求數列{an}的通項；
（2）數列{cn}滿足：對任意正整數n，++…+=22+均成立，求數列{cn}的前n項和．

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科目：高中數學 來源：2010年浙江省高考數學最新押題卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設單調遞增等比數列{an}滿足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中項，
（1）求數列{an}的通項；
（2）數列{cn}滿足：對任意正整數n，++…+=22+均成立，求數列{cn}的前n項和．

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