Question

（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析
（Ⅱ）120°

本題主要考查直線與平面垂直的判斷與性質定理、平面與平面垂直的性質，二面角的求解，以及考查邏輯思維能力、空間想象力與簡單運算能力、同時考查轉化與化歸的思想.
解法一：

(Ⅰ)連接BD，取DC的中點G，連接BG，
由此知即為直角三角形，故.
又,
所以，.
作，，
故平面EDC，內的兩條相交直線都垂直.


,
,
所以，.
(Ⅱ) 由知
.
故為等腰三角形.
取中點F，連接，則.
連接，則.
所以，是二面角的平面角.
連接AG，AG=，,
,
所以，二面角的大小為120°.
解法二：
以D為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，

設則,,.
(Ⅰ),
設平面的法向量為,
由,
故
令，
又設，則
,

設平面的法向量，
由,得
，
故   .
令，則.
由平面得.
故.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，取中點F，則,,
故,由此得.
又,故由此得,
向量與的夾角等于二面角的平面角.
于是         ,
所以，二面角的大小為120°.
點評：對立體幾何的考查是一直解答題中比較常規、變化不大的題。但今年（Ⅰ）的問題的設置由證明空間位置關系變為證明西安段之間的相等關系，在力求創新考查，但實際還是考查空間直線、平面之間的位置的關系的證明及應用.