Question

定義：項數為偶數的數列，若奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，則稱該數列為“對偶數列”．
（1）若項數為20項的“對偶數列”{a_n}，前4項為1，1，3，，求該數列的通項公式及20項的和；
（2）設項數為2m（m∈N^*）的“對偶數列”{a_n}前4項為1，1，3，，試求該數列前n（1≤n≤2m，n∈N^*）項的和S_n；
（3）求證：等差數列{a_n}（a_n≠0）為“對偶數列”當且僅當數列{a_n}為非零常數數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數列，公比為，a₂=1，由此能求出該數列的通項公式及20項的和；
（2）1≤n≤2m，n∈N^*，當n為偶數時，．當n為奇數時，．
（3）設{a_n}為等差數列，公差為d．若{a_n}為“對偶數列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數列，由此{a_n}為非零常數列．若{a_n}為非零常數列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數列”的條件，因此{a_n}為“對偶數列”．
解答：解：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數列，公比為，a₂=1．∴
即

（2）1≤n≤2m，n∈N^*，
當n為偶數時，．
當n為奇數時，．
（3）設{a_n}為等差數列，公差為d．
若{a_n}為“對偶數列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數列，∴a₄²=a₂a₆，（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+5d），得出d=0，
所以{a_n}為非零常數列．
若{a_n}為非零常數列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數列”的條件，因此{a_n}為“對偶數列”．
點評：本題考查數列與函數的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．