Question

（14分）已知函數滿足對任意，且，都有．   w w w.k s 5 u.c o m

（1）求實數的取值范圍；

（2）試討論函數在區間 上的零點的個數；

（3）對于給定的實數，有一個最小的負數，使得時，都成立，則當為何值時，最小，并求出的最小值．

Answer 1

解析：（1）∵                      ………………1分

   ………………2分

，                                ………………3分

又∵，∴必有，∴實數的取值范圍是．………………4分

（2），由（1）知：  ，所以。

由 ，知對稱軸 , ………5分

①     當時，總有，<0 ，，

故時，在上有一個零點；               ………………6分

②當時， ，即時，在上有兩個零點；8分

③當時，有，<0，， 故時，在上有兩個零點。                                                   ………………9分

綜上：當時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點。                                                    …………10分

 （3）∵，   w w w.k s 5 u.c o m

顯然，對稱軸．                          

①當，即時，，且．…11分

令，解得，

此時取較大的根，即，

∵，∴．            ………………12分

②當，即時，，且．………13分

令，解得，

此時取較小的根，即，

∵，∴． 當且僅當時，取等號 w w w.k s 5 u.c o m  

∵，∴當時，取得最小值－3．………………14分