Question

設f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x2－.

(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的單調區間，并證明對[－1，1]上的任意x1，x2，x3，都有F(x1)＋F(x2)>F(x3)；

(2)將y＝f(x)的圖像向下平移a(a>0)個單位，同時將y＝g(x)的圖像向上平移b(b>0)個單位，使它們恰有四個交點，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）在(－∞，－1)和(0，1)上單調遞增，在(－1，0)和(1，＋∞)上單調遞減，證明見解析（2）<<1＋ln 2

【解析】(1)F(x)＝ln(x2＋1)－x2－，

F′(x)＝.

F′(x)，F(x)的值隨x值的變化如下表：

 

x	(－∞，－1)	(－1，0)	(0，1)	(1，＋∞)
F′(x)	＋	－	＋	－
F(x)	↗	↘	↗	↘

故F(x)在(－∞，－1)和(0，1)上單調遞增，在(－1，0)和(1，＋∞)上單調遞減，在[－1，1]上F(x)的最小值F(x)min＝F(0)＝.

F(x)的最大值F(x)max＝F(1)＝F(－1)＝ln 2.

因此F(x1)＋F(x2)≥2F(x)min＝1，

而F(x3)≤F(x)max＝ln 2，

故F(x1)＋F(x2)>F(x3)．

(2)由題意可知y＝ln(x2＋1)－a與y＝x2－＋b的圖像恰有四個交點．

由ln(x2＋1)－a＝x2－＋b，

則a＋b＝ln(x2＋1)－x2＋.

令F(x)＝ln(x2＋1)－x2＋，

由(1)可知F(x)極小值＝F(0)＝，F(x)極大值＝F(1)＝ln 2.又F(4)＝F(－4)<0<F(0)，所以F(x)的大致圖像如圖所示，

圖(1)

要使y＝a＋b與y＝F(x)恰有四個交點，則<a＋b<ln 2.

由

得到(b，a)的可行域為如圖(2)所示的陰影部分．

圖(2)

又可視為點P(－1，－1)與可行域內的點連線的斜率，

故<<1＋ln 2.