Question

（本小題滿分13分）已知數列，滿足，且當（）時，．令．

（Ⅰ）寫出的所有可能取值；

（Ⅱ）求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的所有可能取值為：，，，，．

（Ⅱ）的最大值為．

【解析】

據及，得出數列中有0,1.，-1，還可能有2，不重不漏，列出；

（2）較難，找到設，則或，連加得 ．                         

利用，得，再根據和的公式化簡求解。 

解:（Ⅰ）由題設，滿足條件的數列的所有可能情況有：

（1）此時；

（2）此時；

（3）此時；

（4）此時；

（5）此時；

（6）此時.

所以，的所有可能取值為：，，，，．         .………5分

（Ⅱ）由，可設，則或（，），

    ，

    ，

     …

    ，

所以．                               ………7分

因為，所以，且為奇數，是由個1和個構成的數列．

所以

      ．

則當的前項取，后項取時最大，

此時．.……10分

證明如下：

假設的前項中恰有項取，則

的后項中恰有項取，其中，，，．

所以

 

．

    所以的最大值為．                              .………13分