Question

求下列數列的前n項和S_n：a，2a²，3a³，…，naⁿ，…．

Answer 1

分析：根據已知條件，歸納猜想出數列的通項公式為naⁿ，利用錯位相減法即可求得結果．

解答：解：S_n=a+2a²+3a³++naⁿ，
當a=1時，S_n=1+2+3++n=

n(n+1)

2

，
當a≠1時，S_n=a+2a²+3a³++naⁿ，
aS_n=a²+2a³+3a⁴++naⁿ⁺¹，
兩式相減得（1-a）S_n=a+a²+a³++an-nan+1=

a(1-an)

1-a

-nan+1，
∴Sn=

nan+2-(n+1)an+1+a

(1-a)2

．
綜上所述S_n=

n(n+1) 2   n=1 nan+2-(n+1)an+1+a (1-a)2  n≥2

．

點評：此題是個中檔題．考查學生根據數列形式寫出它的通項公式并求和，在利用錯位相減法求和時，注意對參數的討論，體現了討論的思想．