Question

（2013•黃浦區二模）設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的動直線l交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且y₁y₂=-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線2x+3y=0平分線段AB，求直線l的傾斜角．
（3）若點M是拋物線C的準線上的一點，直線MF，MA，MB的斜率分別為k₀，k₁，k₂．求證：當k₀=1時，k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為x=ay+

p

2

，代入y²=2px，消掉x得y的二次方程，利用韋達定理及y₁y₂=-4即可求得p值，從而得拋物線方程；
（2）由（1）可知y₁+y₂=2pa=4a，設點D是線段AB的中點，由中點坐標公式可得D點橫坐標，代入直線l方程可得縱坐標，根據點D在直線2x+3y=0上可求得a值，設直線l的傾斜角為α，則tanα=

1

a

，根據傾斜角范圍即可求得α；
（3）由k₀=1可求得y_M，從而得知M點坐標，由（1）知y₁+y₂=4a，y₁y₂=-4，根據點A、B在直線l上及斜率公式把k₁+k₂表示出來，進行化簡即可求得定值；

解答：解：（1）設直線l的方程為x=ay+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2pay-p²=0（*），
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直線l與拋物線的兩交點，
故y₁，y₂是方程（*）的兩個實根，
∴y1y2=-p2，又y₁y₂=-4，所以-p²=-4，又p＞0，可得p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x．　　　　　　　　　　　　　
（2）由（1）可知y₁+y₂=2pa=4a，
設點D是線段AB的中點，則有yD=

y1+y2

2

=2a，xD=ayD+

p

2

=2a2+1，
由題意知點D在直線2x+3y=0上，
∴2（2a²+1）+6a=0，解得a=-1或-

1

2

，
設直線l的傾斜角為α，則tanα=

1

a

=-1或-2，又α∈[0，π），
故直線l的傾斜角為

3

4

π或π-arctan2．　　　　  
（3）k0=

yM

xM-1

=

yM

-2

=1，可得y_M=-2，
由（1）知y₁+y₂=4a，又y₁y₂=-4，
∴k1+k2=

y1+2

x1+1

+

y2+2

x2+1

=

y1+2

ay1+2

+

y2+2

ay2+2

=

2ay1y2+2a(y1+y2)+2(y1+y2)+8

a2y1y2+2a(y1+y2)+4

=

-8a+8a2+8a+8

-4a2+8a2+4

=

8(a2+1)

4(a2+1)

=2，
所以k₁+k₂為定值．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、直線斜率及拋物線方程，直線方程、斜率公式是解決該類問題的基礎，應熟練掌握．