Question

在平面直角坐標系中，已知點，是動點，且的三邊所在直線的斜率滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）若是軌跡上異于點的一個點，且，直線與交于點，問：是否存在點，使得和的面積滿足？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（且）,（2）

【解析】

試題分析：（1）點的軌跡的方程,就是找出點橫坐標與縱坐標的關系式，而條件中只有點為未知，可直接利用斜率公式化簡,得點的軌跡的方程為，求出軌跡的方程后需結合變形過程及觀察圖像進行去雜，本題中分母不為零是限制條件，（2）本題難點在于對條件的轉化，首先條件說明的是，其次條件揭示的是，兩者結合轉化為條件，到此原題就轉化為：已知斜率為的過點直線被拋物線截得弦長為，求點的坐標.

試題解析：

（1）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得，

，整理得軌跡的方程為（且）． 3分

（2）:學設由可知直線，

則，故，即， 5分

直線OP方程為： ①；直線QA的斜率為：，

∴直線QA方程為：，即 ②

聯立①②，得，∴點M的橫坐標為定值． 8分

由，得到，因為，所以，

由，得，∴的坐標為．

∴存在點P滿足，的坐標為． 10分

考點：軌跡方程，直線與拋物線位置關系