Question

已知四棱椎S-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，每條側棱長都是，P是側棱SD上的點．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

Answer 1

解：（I）連接BD交AC于點O，連接SO
∵△ACS中，SA=SC=2，O是AC中點，∴AC⊥SO
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，SO∩BD=O
∴AC⊥平面SBD，
∵SD?平面SBD，∴AC⊥SD；
（Ⅱ）∵正方形ABCD邊長為2，SD=2
∴OD=×2=，
可得Rt△SDO中，cos∠SDO==，得∠SDO=60°，
連結OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
∴AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
∵SD⊥平面PAC，可得SD⊥OP，
∴Rt△POD中，∠POD=90°-∠SDO=30°，即二面角P-AC-D的大小為30°．
分析：（I）連接BD交AC于點O，連接SO，根據等腰△ACS中，SO是底邊的中線，可得AC⊥SO，結合正方形ABCD中AC⊥BD，證出AC⊥平面SBD，從而得到AC⊥SD；
（II）連結OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，可得AC⊥OP且AC⊥OD，因此∠POD是二面角P-AC-D的平面角．Rt△SDO中，利用余弦算出∠SDO=60°，從而得到Rt△POD中∠POD=30°，即得二面角P-AC-D的大小．
點評：本題給出側棱長為底面邊長的倍的正四棱錐，求證線線垂直并求垂直于側棱的平面與底面所成的求二面角的大小，著重考查了空間線面垂直的判定與性質、二面角大小的求法和正棱錐的性質等知識，屬于中檔題．