Question

已知函數f(x)=x+

2

x

．
（1）求證：函數f（x）在區間[2，+∞）上是增函數；
（2）設集合M={y|y=f（x）-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合M．

Answer 1

分析：（1）當x∈[2，+∞），利用f′（x）=1-

2

x2

≥

1

2

＞0，即可證得函數f（x）在區間[2，+∞）上是增函數；
（2）依題意y=

2

x

，利用其單調性可求得x∈[-1，0）∪（0，2]時y的取值范圍，從而可得集合M．

解答：解：（1）證明：∵f′（x）=1-

2

x2

，又x∈[2，+∞），
∴0＜

2

x2

≤

1

2

，-

1

2

≤-

2

x2

＜0，

1

2

≤1-

2

x2

＜1，
即f′（x）≥

1

2

＞0，
∴函數f（x）在區間[2，+∞）上是增函數；
（2）∵|y=f（x）-x=

2

x

，在（-∞，0），（0，+∞）為減函數，又x∈[-1，0）∪（0，2]，
∴y≤-2或y≥1．
∴M={y|y≤-2或y≥1}．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，即可用單調性的定義證明，也可用導數法證明；考查函數y=

2

x

的性質與集合及其運算，屬于中檔題．