Question

已知函數
（1）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區間[-2，4]上的最大值；
（2）當a≠0時，若f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求f（1），利用（1，f（1））在y=f（x）上，及f'（1）=-1，建立方程，即可求得函數解析式，進而可得函數的極值，利用函數的最值在極值與端點處取得，可得結論；
（2）因為函數f（x）在區間（-1，1）不單調，所以函數f'（x）在（-1，1）上存在零點，利用f'（-1）f'（1）＜0，即可求得a的取值范圍．
解答：解：（1）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴
又f'（1）=-1，∴1-2a+a²-1=-1
∴a²-2a+1=0，解得
∴
由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點．
∵
∴f（x）在區間[-2，4]上的最大值為8．
（2）因為函數f（x）在區間（-1，1）不單調，所以函數f'（x）在（-1，1）上存在零點．
而f'（x）=0的兩根為a-1，a+1，區間長為2，
∴在區間（-1，1）上不可能有2個零點．
所以f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0．
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，2）．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，函數f（x）在區間（-1，1）不單調，轉化為函數f'（x）在（-1，1）上存在零點是解題的關鍵．