Question

(2006湖南，18)如下圖，已知兩個正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高分別為1和2，AB=4．

(1)證明：PQ⊥平面ABCD；

(2)求異面直線AQ與PB所成的角；

(3)求點P到平面QAD的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)連結AC、BD，設AC∩BD=O，因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面AB－CD，從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD． (2)由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 由(1)知，PQ⊥平面ABCD，故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)，由題設條件，相關各點的坐標分別是P(0，0，1)，，Q(0，0，－2)，． 所以，． 于是． 從而異面直線AQ與PB所成的角是． (3)由(2)知，點D的坐標是，，， 設n=(x，y，z)是平面QAD的一個法向量，由得． 取x=1，得． 所以點P到平面QAD的距離．