Question

（2006•豐臺區一模）設數列{b_n}的前n項和為S_n，且2S_n=2-b_n，數列{a_n}為等差數列，a₅=14，a₇=20．若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…．試判斷c_n+1與c_n的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：先根據2S_n=2-b_n求出b₁，然后根據n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

bn-1-bn

2

，從而得到

bn

bn-1

=

1

3

，所以{b_n}是以b1=

2

3

為首項，公比

1

3

為的等比數列，求出{b_n}的通項，然后根據數列{a_n}為等差數列，求出其通項公式，最后根據c_n=a_n•b_n，然后判定c_n+1-c_n的符號可得所求．

解答：解：由2S_n=2-b_n⇒Sn=

2-bn

2

，當n=1時，b1=

2

3

…（1分）
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

bn-1-bn

2

⇒3bn=bn-1⇒

bn

bn-1

=

1

3

所以{b_n}是以b1=

2

3

為首項，公比

1

3

為的等比數列，且bn=2•(

1

3

)n…（7分）
數列{a_n}為等差數列，所以公差 d=

1

2

(a7-a5)=3，an=3n-1…（10分）
又    cn=an•bn=2(3n-1)(

1

3

)n⇒cn+1-cn=2•(

1

3

)n+1(5-6n)
因為n=1，2，3，…所以5-6n＜0則c_n+1-c_n＜0
所以  c_n+1＜c_n…（14分）

點評：本題主要考查了數列的遞推關系，以及等式數列的通項公式和數列與不等式的綜合，同時考查了利用作差法比較大小，屬于中檔題．