Question

給出四個命題：
（1）函數在閉區間[a，b]上的極大值一定比極小值大
（2）函數在閉區間[a，b]上的最大值一定是極大值
（3）對于f（x）=x³+px²+2x+1，若|p|＜

6

，則f（x）無極值
（4）函數f（x）在區間（a，b）上一定不存在最值
其中正確命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：應用極值與最值的概念逐一判斷即可，函數的極大值指的是比它附近其他點的函數值都大的函數值，極小值指的是比它附近其他點的函數值都小的函數值，但是極大值不一定比極小值大，可判斷（1）的對錯，函數在閉區間上的最值在端點或極值處取得，可判斷（2），（4）的對錯，利用導數的取值范圍可判斷函數的極值存在情況，可判斷（3）的對錯．

解答：解：（1）函數在閉區間[a，b]上的極大值指的是比它附近其他點的函數值都大的函數值，
極小值指的是比它附近其他點的函數值都小的函數值，但極大值不一定大于極小值，∴（1）錯誤．
（2）函數在閉區間[a，b]上的最大值可能是極大值，也可能是端點函數值，∴（2）錯誤．
（3）對函數f（x）=x³+px²+2x+1求導，得，f′（x）=3x²+2px+2，
當|p|＜

6

時，△=4p²-24＜0，函數f（x）=x³+px²+2x+1在R上為減函數，無極值，∴（3）正確．
（4）若函數f（x）在區間（a，b）上先增后減，則函數f（x）在區間（a，b）上有最大值，
若函數f（x）在區間（a，b）上先減后增，則函數f（x）在區間（a，b）上有最小值，∴（4）錯誤
故選B

點評：本題主要考查函數的極值與最值的概念，因為是多選題，需要逐一判斷．