Question

如圖有三根針和套在一根針上的n（n∈N^*）個金屬片．按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上． 
1．每次只能移動1個金屬片；                      
2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．
現(xiàn)用a_n表示把n個金屬片從中間的針移到右邊的針上所至少需要移動的次數(shù)，請回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N^*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和．例：

1≤i≤j≤2

b_ib_j=

b

2 1

+b₁b₂+

b

2 2

=

1

2

[（b₁+b₂）²+（

b

2 1

+

b

2 2

）]
（3）證明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）由題意要將n個圓盤全部轉(zhuǎn)移到C柱上，只需先將上面n-1個圓盤轉(zhuǎn)移到B柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將B柱上的n-1個圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，所以有a_n=2a_n-1+1，利用構(gòu)造法可求a_n；
（2）由b_n=a_n+1=2ⁿ，Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[（b₁+b₂+…+b_n）²+（

b

2 1

+

b

2 2

+…+b_n²）化簡可得Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

4

3

（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），再
（3）令c_n=

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

，則當(dāng)n≥2時，c_n＜

1

4

•

1

22n-1-1

=

1

4

•c_n-1，從而利用放縮法可證．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7
事實上，要將n個圓盤全部轉(zhuǎn)移到C柱上，只需先將上面n-1個圓盤轉(zhuǎn)移到B柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將B柱上的n-1個圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要a_n-1次轉(zhuǎn)移，所以有a_n=2a_n-1+1則a_n+1=2（a_n-1+1）⇒a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1
（2）b_n=a_n+1=2ⁿ
則Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[（b₁+b₂+…+b_n）²+（

b

2 1

+

b

2 2

+…+b_n²）]=

1

2

[（2+2²+…+2ⁿ）²+（2²+2⁴+…+2²ⁿ）]=

1

2

[（2ⁿ⁺¹-2）²+

4

3

（4ⁿ-1）]=

4

3

（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），
（3）令c_n=

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

，
則當(dāng)n≥2時c_n=

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

=

(21-1)(22-1)

(22-1)(23-1)

•

(23-1)(24-1)

(24-1)(25-1)

•…•

(22n-1-1)(22n-1)

(22n-1)(22n+1-1)

=

1

22n+1-1

=

1

4

•

1

22n-1- 1 4

＜

1

4

•

1

22n-1-1

=

1

4

•c_n-1＜(

1

4

)n-1c₁
又c₁=

1

23-1

=

1

7

＜

4

21

∴

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜c₁+

1

4

c₁+（

1

4

）²c₁+…+（

1

4

）^n-1c₁=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

•c₁=

4

21

-

4

21

•(

1

4

)n＜

4

21

又∵c_n＞0恒成立
∴

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

≥c₁=

1

7

綜上所述：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）．

點評：本題的（1）問關(guān)鍵是從特殊中發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律，考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項；（2）問體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時應(yīng)注意放縮法的運用．