Question

已知二次函數y＝f₁(x)的圖象以原點為頂點且過點(1，1)，反比例函數y＝f₂(x)的圖象與直線y＝x的兩個交點間距離為8，f(x)＝f₁(x)＋f₂(x)．

1)求函數f(x)的表達式；

2)證明：當a＞3時，函數g(x)＝f(x)－f(a)有三個零點．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，設f1(x)＝ax2，由f1(1)＝1，得a＝1，∴f1(x)＝x2． 　　設f2(x)＝(k＞0)，它的圖象與直線y＝x的交點分別為 　　A(，)B(－，－) 　　由＝8，得k＝8．∴f2(x)＝．故f(x)＝x2＋． 　　(2)證法一：f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋， 　　即＝－x2＋a2＋． 　　在同一坐標系內作出f2(x)＝和f3(x)＝－x2＋a2＋的大致圖象，其中f2(x)的圖象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3(x)與的圖象是以(0，a2＋)為頂點，開口向下的拋物線． 　　因此，f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點， 　　即f(x)＝f(a)有一個負數解． 　　又∵f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋ 　　當a＞3時．f3(2)－f2(2)＝a2＋－8＞0， 　　∴當a＞3時，在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2，f(2))在f2(x)圖象的上方． 　　∴f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點，即f(x)＝f(a)有兩個正數解． 　　因此，方程f(x)＝f(a)有三個實數解．即函數g(x)有三個零點． 　　證法二：由f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋，即(x－a)(x＋a－)＝0，得方程的一個解x1＝a． 　　方程x＋a－＝0化為ax2＋a2x－8＝0，由a＞3，△＝a4＋32a＞0，得x2＝，x3＝， 　　∵x2＜0，x3＞0，∴x1≠x2，且x2≠x3．若x1＝x3，即a＝，則3a2＝，a4＝4a，得a＝0或a＝，這與a＞3矛盾，∴x1≠x3． 　　故原方程f(x)＝f(a)有三個實數解．即函數g(x)有三個零點．