Question

設函數f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（1）求a、b的值以及在x=3處的切線方程；
（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可得

f′(1)=0 f′(2)=0

，解出并驗證即可；
（2）利用導數先求出函數f（x）在區間[0，3]上的極大值，再求出區間端點的函數值，進行比較，得出最大值．又已知要求的問題：對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f(x)max＜c2，x∈[0，3]．進而解出即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c，
∴f^′（x）=6x²+6ax+3b．
∵函數f（x）在x=1及x=2時取得極值，
∴

f′(1)=6+6a+3b=0 f′(2)=24+12a+3b=0

，解得

a=-3 b=4

．
∴f^′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
經驗證當a=-3，b=4時，函數f（x）在x=1及x=2時取得極值．
∴a=-3，b=4．
∴f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f（3）=9+8c，切點（3，9+8c）．
又f^′（3）=12，
∴函數在x=3處的切線方程為y-9-8c=12（x-3），即12x-y-27+8c=0；
（2）由（1）可知：f^′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f^′（x）=0，解得x=1，2．列表如右：
由表格可知：函數f（x）在區間[0，1），（2，3]上單調遞增；在區間（1，2）上單調遞減．
∴函數f（x）在x=1處取得極大值，且f（1）=5+8c．
而f（3）=9+8c，∴f（1）＜f（3），
∴函數f（x）在區間[0，3]上的最大值為f（3）=9+8c．
對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f(x)max＜c2，x∈[0，3]?9+8c＜c²，
由c²-8c-9＞0，解得c＞9或c＜-1．
∴要求的c的取值范圍是（-∞，-1）∪（9，+∞）．

點評：充分利用導數求函數的極值及對要求的問題正確轉化是解題的關鍵．