Question

已知二項(xiàng)式(

x

2

-

1

3 x

)n(n∈N*)的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)與第1項(xiàng)的系數(shù)的比是144：1．
（Ⅰ）求展開式中所有的有理項(xiàng)；
（Ⅱ）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)以及系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

Answer 1

（Ⅰ）二項(xiàng)式(

x

2

-

1

3 x

)n的通項(xiàng)公式為：T_r+1=（-1）^r•(

1

2

)n-r•

C

rn

•xn-

4r

3

（0≤r≤n，r∈N^*），
∵第3項(xiàng)的系數(shù)與第1項(xiàng)的系數(shù)的比是144：1，
∴

(-1)2( 1 2 )n-2 C 2n

(-1)0( 1 2 )n-0 C 0n

=

144

1

，即

C

2n

=36，解得n=9或n=-8（舍去）．
從而通項(xiàng)公式為：T_r+1=（-1）^r•(

1

2

)9-r•

C

r9

•x9-

4r

3

（0≤r≤9，r∈N^*），
當(dāng)r=0，3，6，9時(shí)，所有的有理項(xiàng)為T₁=x⁹；T₄=-

21

16

x⁵；T₇=21x；T₁₀=-

1

x3

．
（Ⅱ）∵n=9，展開式共有10項(xiàng)，
∴二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₅=

63

16

x

11

3

和T₇=21x．
展開式中第r-1項(xiàng)，第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為：(

1

2

)10-r

C

r-19

，(

1

2

)9-r

C

r9

，(

1

2

)8-r

C

r+19

．
若第r項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，則必須滿足：

( 1 2 )9-r C r9 ≥( 1 2 )10-r C r-19 ( 1 2 )9-r C r9 ≥( 1 2 )8-r C r+19

，即

2 C r9 ≥ C r-19 C r9 ≥2 C r+19

，
解得：

17

3

≤r≤

20

3

，又r∈N，所以r=6．
∴系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T₇=21x．