Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，焦距為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，且直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，求△面積的取值范圍.

Answer 1

(1) ；(2)△面積的取值范圍為 。

試題分析：(1)由已知得 ∴方程：  （4分）
(2)由題意可設(shè)直線的方程為： 
聯(lián)立 消去并整理，得：
則△ ,
此時(shí)設(shè)、∴
于是  （7分）
又直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，
∴  
由  得：  .又由△ 得：
顯然 （否則：，則中至少有一個(gè)為0，直線、 中至少有一個(gè)斜率不存在，矛盾！）                     （10分）
設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,則

故由得取值范圍可得△面積的取值范圍為 （13分）
點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的定義及幾何性質(zhì)。（2）作為研究點(diǎn)到直線的距離最值問題，利用了函數(shù)思想。