Question

已知圓心為C的圓經過點A（-1，1）和B（-2，-2），且圓心在直線l：x+y-1=0上
（1）求圓C的標準方程；
（2）若直線kx-y+5=0被圓C截得的弦長為8，求k的取值．

Answer 1

分析：（1）由圓C經過A和B，線段AB為圓C的弦，由A和B的坐標求出直線AB的斜率，利用線段中點坐標公式求出AB的中點坐標，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1得出線段AB垂直平分線的斜率，表示出垂直平分線的方程，與直線l聯立組成方程組，求出方程組的解得到交點坐標，即為圓心C的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AC|，即為圓C的半徑，寫出圓C的標準方程即可；
（2）由圓的半徑，弦長，利用垂徑定理及勾股定理求出弦心距d的值，再由圓心C坐標和直線kx-y+5=0，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：（1）∵點A（-1，1）和B（-2，-2），
∴k_直線AB=

-2-1

-2+1

=3，線段AB的中點坐標為（-

3

2

，-

1

2

），
∴線段AB垂直平分線方程為y+

1

2

=-

1

3

（x+

3

2

），即x+3y+3=0，
與直線l聯立得：

x+y-1=0 x+3y+3=0

，
解得：

x=3 y=-2

，
∴圓心C坐標為（3，-2），
∴半徑|AC|=

(-1-3)2+(1+2)2

=5，
則圓C方程為（x-3）²+（y+2）²=25；
（2）∵圓C半徑為5，弦長為8，
∴圓心到直線kx-y+5=0的距離d=

52-42

=3，即

|3k+7|

k2+1

=3，
解得：k=-

20

21

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：兩直線垂直時斜率滿足的關系，線段中點坐標公式，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．